标量由只有一个元素的张量表示
import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
x + y, x * y, x / y, x**y
(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))
你可以将向量视为标量值组成的列表
x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])
通过张量的索引来访问任一元素
x[3]
tensor(3)
访问张量的长度
len(x)
4
只有一个轴的张量,形状只有一个元素
x.shape
torch.Size([4])
通过指定两个分量$m$和 $n$来创建一个形状为$m \times n$的矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
tensor([[ 0, 1, 2, 3], [ 4, 5, 6, 7], [ 8, 9, 10, 11], [12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19]])
矩阵的转置
A.T
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16], [ 1, 5, 9, 13, 17], [ 2, 6, 10, 14, 18], [ 3, 7, 11, 15, 19]])
对称矩阵(symmetric matrix)$\mathbf{A}$等于其转置:$\mathbf{A} = \mathbf{A}^\top$
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B == B.T
tensor([[True, True, True], [True, True, True], [True, True, True]])
就像向量是标量的推广,矩阵是向量的推广一样,我们可以构建具有更多轴的数据结构
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
tensor([[[ 0, 1, 2, 3], [ 4, 5, 6, 7], [ 8, 9, 10, 11]], [[12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19], [20, 21, 22, 23]]])
给定具有相同形状的任意两个张量,任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()
A, A + B
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.], [ 4., 5., 6., 7.], [ 8., 9., 10., 11.], [12., 13., 14., 15.], [16., 17., 18., 19.]]), tensor([[ 0., 2., 4., 6.], [ 8., 10., 12., 14.], [16., 18., 20., 22.], [24., 26., 28., 30.], [32., 34., 36., 38.]]))
两个矩阵的按元素乘法称为哈达玛积(Hadamard product)(数学符号$\odot$)
A * B
tensor([[ 0., 1., 4., 9.], [ 16., 25., 36., 49.], [ 64., 81., 100., 121.], [144., 169., 196., 225.], [256., 289., 324., 361.]])
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
(tensor([[[ 2, 3, 4, 5], [ 6, 7, 8, 9], [10, 11, 12, 13]], [[14, 15, 16, 17], [18, 19, 20, 21], [22, 23, 24, 25]]]), torch.Size([2, 3, 4]))
计算其元素的和
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
表示任意形状张量的元素和
A.shape, A.sum()
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))
指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))
A.sum(axis=[0, 1])
tensor(190.)
一个与求和相关的量是平均值(mean或average)
A.mean(), A.sum() / A.numel()
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
(tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))
计算总和或均值时保持轴数不变
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
tensor([[ 6.], [22.], [38.], [54.], [70.]])
通过广播将A
除以sum_A
A / sum_A
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000], [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182], [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895], [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778], [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
某个轴计算A
元素的累积总和
A.cumsum(axis=0)
tensor([[ 0., 1., 2., 3.], [ 4., 6., 8., 10.], [12., 15., 18., 21.], [24., 28., 32., 36.], [40., 45., 50., 55.]])
点积是相同位置的按元素乘积的和
y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))
我们可以通过执行按元素乘法,然后进行求和来表示两个向量的点积
torch.sum(x * y)
tensor(6.)
矩阵向量积$\mathbf{A}\mathbf{x}$是一个长度为$m$的列向量,其第$i$个元素是点积$\mathbf{a}^\top_i \mathbf{x}$
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))
我们可以将矩阵-矩阵乘法$\mathbf{AB}$看作是简单地执行$m$次矩阵-向量积,并将结果拼接在一起,形成一个$n \times m$矩阵
B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
tensor([[ 6., 6., 6.], [22., 22., 22.], [38., 38., 38.], [54., 54., 54.], [70., 70., 70.]])
$L_2$范数是向量元素平方和的平方根: $$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$$
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
tensor(5.)
$L_1$范数,它表示为向量元素的绝对值之和: $$\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|$$
torch.abs(u).sum()
tensor(7.)
矩阵 的弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius norm)是矩阵元素平方和的平方根: $$\|\mathbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}$$
torch.norm(torch.ones((4, 9)))
tensor(6.)