线性代数

标量由只有一个元素的张量表示

In [1]:
import torch

x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])

x + y, x * y, x / y, x**y
Out[1]:
(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))

你可以将向量视为标量值组成的列表

In [2]:
x = torch.arange(4)
x
Out[2]:
tensor([0, 1, 2, 3])

通过张量的索引来访问任一元素

In [3]:
x[3]
Out[3]:
tensor(3)

访问张量的长度

In [4]:
len(x)
Out[4]:
4

只有一个轴的张量,形状只有一个元素

In [5]:
x.shape
Out[5]:
torch.Size([4])

通过指定两个分量$m$和 $n$来创建一个形状为$m \times n$的矩阵

In [6]:
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
Out[6]:
tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

矩阵的转置

In [7]:
A.T
Out[7]:
tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
        [ 1,  5,  9, 13, 17],
        [ 2,  6, 10, 14, 18],
        [ 3,  7, 11, 15, 19]])

对称矩阵(symmetric matrix)$\mathbf{A}$等于其转置:$\mathbf{A} = \mathbf{A}^\top$

In [8]:
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
Out[8]:
tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])
In [9]:
B == B.T
Out[9]:
tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

就像向量是标量的推广,矩阵是向量的推广一样,我们可以构建具有更多轴的数据结构

In [10]:
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
Out[10]:
tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 4,  5,  6,  7],
         [ 8,  9, 10, 11]],

        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

给定具有相同形状的任意两个张量,任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量

In [11]:
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()
A, A + B
Out[11]:
(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
         [ 8., 10., 12., 14.],
         [16., 18., 20., 22.],
         [24., 26., 28., 30.],
         [32., 34., 36., 38.]]))

两个矩阵的按元素乘法称为哈达玛积(Hadamard product)(数学符号$\odot$)

In [12]:
A * B
Out[12]:
tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])
In [13]:
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
Out[13]:
(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
          [ 6,  7,  8,  9],
          [10, 11, 12, 13]],
 
         [[14, 15, 16, 17],
          [18, 19, 20, 21],
          [22, 23, 24, 25]]]),
 torch.Size([2, 3, 4]))

计算其元素的和

In [14]:
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
Out[14]:
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

表示任意形状张量的元素和

In [15]:
A.shape, A.sum()
Out[15]:
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度

In [16]:
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
Out[16]:
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))
In [17]:
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
Out[17]:
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))
In [18]:
A.sum(axis=[0, 1])
Out[18]:
tensor(190.)

一个与求和相关的量是平均值(mean或average)

In [19]:
A.mean(), A.sum() / A.numel()
Out[19]:
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
In [20]:
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
Out[20]:
(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

计算总和或均值时保持轴数不变

In [21]:
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
Out[21]:
tensor([[ 6.],
        [22.],
        [38.],
        [54.],
        [70.]])

通过广播将A除以sum_A

In [22]:
A / sum_A
Out[22]:
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

某个轴计算A元素的累积总和

In [23]:
A.cumsum(axis=0)
Out[23]:
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.],
        [40., 45., 50., 55.]])

点积是相同位置的按元素乘积的和

In [24]:
y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
Out[24]:
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

我们可以通过执行按元素乘法,然后进行求和来表示两个向量的点积

In [25]:
torch.sum(x * y)
Out[25]:
tensor(6.)

矩阵向量积$\mathbf{A}\mathbf{x}$是一个长度为$m$的列向量,其第$i$个元素是点积$\mathbf{a}^\top_i \mathbf{x}$

In [26]:
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
Out[26]:
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.]))

我们可以将矩阵-矩阵乘法$\mathbf{AB}$看作是简单地执行$m$次矩阵-向量积,并将结果拼接在一起,形成一个$n \times m$矩阵

In [27]:
B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
Out[27]:
tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

$L_2$范数是向量元素平方和的平方根: $$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$$

In [28]:
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
Out[28]:
tensor(5.)

$L_1$范数,它表示为向量元素的绝对值之和: $$\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|$$

In [29]:
torch.abs(u).sum()
Out[29]:
tensor(7.)

矩阵 的弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius norm)是矩阵元素平方和的平方根: $$\|\mathbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}$$

In [30]:
torch.norm(torch.ones((4, 9)))
Out[30]:
tensor(6.)